\documentclass{elegantbook}

\usepackage{ntheorem}
\usepackage{makecell}
\usepackage{lipsum}
\usepackage{texnames}

%green color
\definecolor{main1}{RGB}{0,120,2}
\definecolor{second1}{RGB}{230,90,7}
\definecolor{third1}{RGB}{0,160,152}
%cyan color
\definecolor{main2}{RGB}{0,175,152}
\definecolor{second2}{RGB}{239,126,30}
\definecolor{third2}{RGB}{120,8,13}
%blue color
\definecolor{main3}{RGB}{20,50,104}
\definecolor{second3}{RGB}{180,50,131}
\definecolor{third3}{RGB}{7,127,128}



\entitle{A Delightful Book For Beginners}% \enend{Template}
\zhtitle{\LaTeX{}入门精解}%\zhend{模板}
\cover{cover.pdf}
\myquote{一本以详细解释和说明让初学者深入理解\LaTeX{}的书。}
\author{郝伟}
\date{December 1, 2019}
\email{culture@126.com}
\logo{ElegantLaTeX_green.pdf}
\version{0.0.1}



\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  
% 正文部分
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\mainmatter

\chapter{前言}
\section{为什么要使用\LaTeX?}
根据国家统计局2019年1月21日发布的2018年中国出生人口数据来看，
2018年我国总人口13.95亿，而1978-2019年全国本科毕业生人数为大概为5300万人。
大学生指的是在高等院校注册入学并且接受教育直至毕业前的群体统称，
大学生的范围包括:专科生、本科生和研究生（硕士生、博士生），所以从严谨的态度来说，
两者是不对应的。既然提到大学生的规模，给人一种“遍地都是”的感觉，
那么我们有必要了解清楚到底目前我国专科生、本科生、硕士生、博士生到底有多少人？
据公开数据显示，截止2019年全国专科生数量5500万左右，本科生为5200万左右，
全国硕士毕业生人数约630万，而博士生约有81万。
鉴于只有1%的大学生，部分研究生和大部分博士在使用\LaTeX，
我们可以得到一个模糊的概念，使用\LaTeX 的人数也就在一两百万左右。

http://www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm

\begin{enumerate}[noitemsep]
	\item 几乎所有的大学的官方文件都是使用Word编写后，再输出为PDF;
	\item 绝大多数公司都是在使用微软的Office或WPS来进行办公;
	\item 在绝大多数的企业中，同样是被微软的Office和WPS占领。
\end{enumerate}

所以，为什么我们要使用\LaTeX?

\subsection{所见所得和命令描述文档}

通常文档的编辑制作模式有两种：所见所得和命令描述。前者的代表是Word，后者的代表是方正排版、LaTeX等。

要回答为什么要推荐用LaTeX的最简单直接的一个答案是：排版好看的数学公式。
当然，Word也能排出一般的数学公式，但是不能排出所有稀奇古怪的数学公式，更不要奢谈好看的数学公式。
导致这两者区别的本质原因就是所见所得的编辑模式和命令描述编辑模式的差别。

所见所得的编辑模式最大的好处是：直观和在线实时！但是由此而付出的代价是：
用户必须对文档最终效果负一切的责任。由于用户可以随意摆弄出一种文档视觉效果，
也就很轻易地能够用不正确的手法做出一个实时的局部满意的文档。但是，从文档的整体上来说，
视觉效果就肯定的不一致了。回到排版数学公式这个例子，首先因为数学公式排版是个第三方的插件，
它能够让你插入公式到word文档中，但是，不要奢望能够与word文档的其它视觉表现统一起来。
即使是MS买下这个插件，成为Word的法律上的一部分，但是由于给了你所见所得的编辑手段，
公式的整体表现（例如，大小、风格等）和正文文字的一致协调，这是终端用户的责任！
公式每个局部部分的协调（例如，上、下标与主体的大小比例等），这也是用户的责任！
Word的fans也许要说了，公式不是有默认的模版吗？当然，你可以使用公式的默认模版。
但是，由于你可以随意改变正文的表现形式（例如，字体、版式），
所以，默认的公式模版怎么可能与正文协调？
这也就是为什么含有公式的word文档总体上视觉效果差的原因：行间稀落难看、字间宽松随性。



反观命令描述文档的编辑模式，首先，由于文档最终的视觉效果是由编译程序“生成”的！
所以，文档总体的视觉效果比较容易（注意，是比较容易，而不是一定！）保持一致。
各个插件部件之间的默认协调，也很容易一致。当然，用户也要为此付出代价：离线非实时地编辑文档。



小结成一句话，所见所得给了用户最大的最方便的灵活性，
所以不正确地使用也就更容易把一个文档搞砸。而LaTeX提升了使用者对灵活性的把握门槛，
一般来说，也就比较容易达到预设的专业出版级的效果。随便说一句Word用户不爱听的话，
Word的目标是面向自娱自乐的大众用户，不是出版级的专业用户。笔者要郑重申明的是，
用户层次的不同，并非代表用户的高低贵贱。



如果非要用一个简单理由来推荐LaTeX而非难Word的话，那也许就是文档的总体协调视觉效果。
如果你不关心这一点，或者目标文档本身就不存在这个问题（例如，纯文字的文档），
那么Word应该是一个好的选择。



但是，我们还有更深层次的推荐LaTeX的理由，那就是Word通常
（注意，是通常，而不是绝对）把文档的内容、形式和结构混为一谈，
而LaTeX可以很好地把这三者分开。且听下回分解。




由于点点滴滴利用业余时间来写点感想，所以不承诺任何东西。

 

\subsection{文档的内容、形式和结构}
传统的文档，是由文字构成。现代化的文档，嵌入了符号、图、表、甚至音、视频等等许多媒体形式。
为了容易理解起见，我们暂且先考虑只由文字构成的文档。但是下面的叙述也可以简单推广到其它文档对象。

文档的内容，实际上就是文字字符本身！往往就是指文字的语义（音、形、义）。
而每个文字，都有其表现形式，例如，仿宋体、黑体、1号字、6号字等等。文档的结构，
就是句、段、节、章、顺序等等关于内容的组织。内容和表现形式应该是可以分离的。
同样，文档的结构，也应该是一个独立的属性。（需要说明的是，笔者的观点是，
把文档的形式和结构等，都作为内容的扩展来理解。这当然是从研究角度的需求。本文不准备这样采信。）

文档之美，首先在于内容之美。例如，金庸的武侠小说，不管用什么字体、字号，
连载还是单行本，其给用户的总体感受，应该没有什么变化。小说想传递给读者的信息，
应该是通过内容就能够做到了。当然，结构必须正确。设想把金大侠的小说的章节次序打乱了来看？

文档之美，还可以体现在形式之美上。设想金大侠的小说每一段文字换一种字体或字号试试？
形式之美的另外一种体现是：“大道至简”的符号表达！
谁也不能否认爱因斯坦相对论的那个代表性公式$E=mc^2$的美。
“大道至简”体现了我们古人微言大义的理念。有时候形式能够达到内容所达不到的效果。
例如，现代派的表达“我恨 透 了 这 厮”确实与“我恨透了这厮”有不一样的效果。
这也就是为什么有个诺奖获得者提倡“数学之美”一说。另外一个例子，
数学上，不同的形式往往也约定俗成地代表了不同的内容，d表示一般的变量，粗体d就表示向量了。

那为什么说结构也是文档不可缺少的要素呢？我们都有这样的体验，昏昏欲睡地听着领导在大会上做着报告，
“.…..下面，我谈第三大点……接下来我来谈谈第(二)点……第3个方面就是要加强对文档的正确理解…….”等等。
事实上，如果换成表达“……3.2.3 加强对文档的正确理解”，我们应该很容易知道领导已经开讲第3大点了，
而且进入了第2小点的第3个方面。这里，“3.2.3”既是内容，又是形式，同时也体现了结构。
但是，其内容随结构变化，如果这之前插入一个方面内容，那么“……3.2.3 
加强对文档的正确理解”就应该调整为“……3.2.4 加强对文档的正确理解”；
如果这之前插入一小点，那么“……3.2.3 加强对文档的正确理解”就应该调整为
“……3.3.3 加强对文档的正确理解”……，以此类推。另外形式上，“3.2.3”也可以成为“三(二)3”。

好了，做了这么多的准备工作，我们回到LaTeX和Word的主题上来。

Word的所见所得把用户宠成了将文档的内容、形式和结构混为一谈。

首先是文档内容和形式的混淆。初级的Word用户是不区分统领标题中的“3.2.3”和正文中的“3.2.3”，
他们往往硬打出标题中的“3.2.3”。实际上，正文中的“3.2.3”不管拷贝粘贴到哪里，其意义都是不变的。
而标题中的“3.2.3”将随结构变化而变化。在中英混合的文档中，虽然中文是统一的比如说是宋体字，
但是，夹杂其中的英文字体，很多情况下是不一致的。由于中文和英文的区别足够地大，
所以，这一缺点被掩盖掉了。设想一个等价的纯英文的文档，间或地夹杂着不一种字体，读起来会有什么感受？

其次，忽略对文档结构的应用。有多少Word用户注意到了文档的段落、章、节？
他们只是很满足于达到视觉上的段落、章、节效果，而实际上，
他们往往都是用“正文”模式通过随心所欲地变换字体、大小来达到结构上的效果。
所以，也就不能够很容易让相同的结构保持相同的形式。
例如，你可以看到第一点的标题是黑体4号字，到了第四点的标题，
就成了加粗的黑体4号字了，因为用户忘记了标题结构的表现形式。



所以，Word允许用户把文档的内容、形式和结构混为一谈。直接的例子是：
你能在word文档中找到正文中所有楷体斜体的4号字“我们”，
并把它们替换成黑体小4号字“我们”？不能！因为这些形式信息被混在了内容之中了。
想要把一个格式文本的内容拷贝到另外一个文档场景下？对不起，请将源格式和文字内容一起拷贝！



我们来看LaTeX的解决方案：用户被迫用plain text文本把文档的内容书写出来，
并且有文档结构方面描述手段。文档的表现形式，除了默认地由编译程序处理外，
特别的形式效果都必须显式地用命令描述出来。
所以，最终的.dvi, .ps, .pdf文档只是用户文档的一种外在表示皮肤，
LaTeX源文档才是其内在内容、形式和结构的描述实体。
例如，LaTeX源代码\ section{文档的内容、形式和结构}中，{}中是文档的内容，
其结构信息由命令\ section根据上下文确定，
并用合适的节的符号带领内容的统一的表示形式，出现在最终文档中。



所以我很反对把word文档通过Adobe的工具直接转换成pdf文件，
我把后者称为fake pdf文件，因为这样的pdf文件还不如word文件本身，
与把word拍成照片没有什么两样。我有许多次评阅人家的论文，
看到那种为满足投递要求而不得不把word转换成pdf的文章，
而当这样的文章充斥着大块的符号公式时，
我都会对作者提这样的建议：这么好的结果（假定它们都是正确的）
为什么不用最好的形式来表达呢？事实上，学习使用LaTeX来表达这样好的结果，
并不比做出这些结果困难多少。因为只要花时间，
LaTeX总是学得会的，而论文的好结果不一定花时间就出得来的。



不可忽视的一个事实是，实际上Word是提供把内容、形式和结构区分的功能的，
只是用户学会了一种抵达目的地的方法后，会认为另外一种更正确的方法太“难”而不去学习使用了，
反正我到目的地了。你会发现有许多Word“高级”用户反而把一切自动功能全部取消，
所有效果一律硬打出来。事实上，当你发现Word默认的自动功能与你的预期效果不一致时，
很多情况下是你正在错误地使用Word。
而这时，用户的选择往往是关闭Word的自动功能，而不是debug你文档的写法。



其实，正确地使用所见所得的编辑工具，也可以达到几乎和用命令描述编辑工具一样的效果，
但是使用难度增加了：决不会像乱用Word一样“方便”了！就如同使用命令描述编辑工具一样“难学”。呜呼，人之初，性本惰？！



我们留下了一个小小的重要问题:为什么把文档的内容、形式和结构等区分出来是有价值的并值得推荐和鼓励的？
且听下回分解。



为什么要用LaTeX(3)



\subsection{文档的语义}


最早接触语义文档的概念是1999年www8年会上，Tim Berners-Lee的大会主题报告中，
提出要推广semantic web的概念。事实上，我们在浏览器中所看到的是一个超媒体文档，
所以谈语义web，也就基本上在谈语义文档。



传统的文档是面用读者用户的，计算机在这个过程中只是起到了存储(store)、
传递(communicate)和渲染(render)的作用，机器本身不能理解(understand)文档内容。
是文档的读者在理解文档的信息。语义web是希望web也能够理解其负载的文档含义，
这样就可以帮助用户预处理一些事情，从而更好地为web用户服务。
一个简单的例子就是网络文档的查询：你希望查到“高兴”的文学表达。
显然只用关键字“高兴”来检索达不到目的。因为有的文学作品通篇整段都没有“高兴”两个字，
但是，却表达了无比高兴的情景（目前再高级的搜索引擎也做不到）。
再比如，如何在网上查一查这个方程$x^n+y^n=z^n$的整数解？



实际上，上一节谈到的文档的内容、形式和结构等，
都属于文档物理层面的组成部件，是文档生产者描写文档的手段。
这里提出的文档的语义，属于文档消费者理解的逻辑层面的含义，
是文档用途的真实体现。



目前解决语义文档需求的可行方案，就是让文档的作者标注文档的语义。
那么，什么是文档的语义？实际上，文档的内容、形式、结构等，
就是最基本的文档语义。XML就是热门的描述文档语义的工具。
其实，LaTeX老早就已经是一个应用广泛的文档语义描述工具了。
当html世界叫着要把内容和形式分离的时候，LaTeX文档已经早早地做到并应用得如此娴熟了。



\chapter{Elegant\LaTeX{} 系列模板介绍}

值此版本发行之际，我们 Elegant\LaTeX{} 项目组向大家重新介绍一下我们的工作，
我们致力于打造一系列美观、优雅、简便的模板方便用户使用。Elegant\LaTeX{} 
系列模板目前由 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantNote}{ElegantNote}，
\href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook}{ElegantBook}，
\href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantPaper}{ElegantPaper} 
组成，分别用于排版笔记，书籍和工作论文。这些子项目的名词是一体的，
请在使用这些名词的时候不要将其断开（如 Elegant Note 是不正确的写法）。
并且，Elegant\LaTeX{}  Book 指的即是 ElegantBook。

请用户在作者的主页下载最新版本，
下载地址：\href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/releases}{Github/ElegantBook/Releases}。
本文将介绍本模板的一些设置内容以及基本使用方法。如果您在使用此模板，
欢迎把您使用此模板制作的成品发一份给我们，谢谢！如果您有其他问题，建议或者意见，欢迎联系我们。


\section{ElegantBook 更新说明}
在这几年间，我们收到了很多用户的反馈，主要的问题涉及到字体安装，
编码支持，定理浮动，定理跨页，交叉引用等等。我们思前想后，
原先让用户安装字体以追求视觉上的美观并不完美，用户陷入了巨大的麻烦，
这违背了我们的模板初衷。因此我们在新版中删除了这部分，
用户无需安装任何字体。让我们来看下此次 ElegantBook 模板 3.x 更新的主要内容有：

\begin{enumerate}[noitemsep]
   \item 删除了自定义字体设置，改用 \texttt{ctex} 宏包用以支持中文；
   \item 使用 \texttt{tcolorbox} 宏包改写了原先的定理类环境，目前定理环境等均可以跨页；
   \item 重新命名了定理类环境的名称（theorem，definition，proposition 等）；
   \item 重新命名了颜色的名字（first，second，third）；
   \item 重新绘制 ElegantLaTeX 的 Logo；
   \item 更新类定理环境，包括其交叉引用；
   \item 特别修正附录相关内容。
\end{enumerate}

\section{未来更新计划}


\begin{enumerate}[noitemsep]
   \item 重新设计 base 图标；
   \item 重新设计一个好看的封面。
   \item 将基础模板改为英文模板，添加选项使其支持中文。
   \item 添加一个简化风格（plain）的颜色主题。
\end{enumerate}

\chapter{ElegantBook 设置说明}


\section{编译方式}

本模板基于基础的 book 文类，所以 book 的选项对于本模板也是有效的。
默认编码为 UTF-8，推荐使用 \TeX{} Live 编译。作者编写环境为
 Win10(64bit) + \TeX{} Live 2018。由于使用的是 \texttt{ctex} 宏包，
 所以支持 \texttt{pdflatex} 以及 \texttt{xelatex} 编译。


\section{选项设置}
本文特殊选项设置共有 2 类，分为 {\color{main}主题颜色}设置 
以及 {\color{main}章标题显示风格}设置。

第 1 类为{\color{main}主题颜色}设置，内置 3 组颜色主题，
分别为 \verb|green|（默认）、\verb|cyan|、\verb|blue|，
另外还有一个自定义的选项  \verb|nocolor|。
调用颜色主题 \verb|green| 的方法为 \\
\verb|\documentclass[green]{elegantbook}| 或者
 \verb|\documentclass[color=green]{elegantbook}|。
 需要改变颜色的话请选择 \verb|nocolor| 选项或者使用 \verb|color=none|，
 然后在导言区定义 main、second、third 颜色，具体的方法如下：

\begin{verbatim}
\definecolor{main}{RGB}{70,70,70}    %定义 main 颜色值
\definecolor{second}{RGB}{115,45,2}    %定义 second 颜色值
\definecolor{third}{RGB}{0,80,80}     %定义 third 颜色值
\end{verbatim}

\begin{table}[htp]
\caption{ElegantBook 模板中的三套颜色主题\label{tab:color thm}}
\centering
\begin{tabular}{ccccc}
\toprule
	  & green & cyan & blue & 主要使用的环境\\
\midrule
main & \makecell{{\color{main1}\rule{1cm}{1cm}}}& \makecell{{\color{main2}\rule{1cm}{1cm}}}&\makecell{ {\color{main3}\rule{1cm}{1cm}}}& definition \\

second &\makecell{ {\color{second1}\rule{1cm}{1cm}}}& \makecell{{\color{second2}\rule{1cm}{1cm}}}&\makecell{ {\color{second3}\rule{1cm}{1cm}}}&theorem \ lemma \ corollary\\

third &\makecell{ {\color{third1}\rule{1cm}{1cm}}}& \makecell{{\color{third2}\rule{1cm}{1cm}}}&\makecell{ {\color{third3}\rule{1cm}{1cm}}}&proposition\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

第 2 类为{\color{main} 章标题显示风格}，包含 \verb|hang|（默认）与 \verb|display| 两种风格，区别在于章标题单行显示（\verb|hang|）与双行显示（\verb|display|），本说明使用了 \verb|hang|。调用方式为 \verb|\documentclass[hang]{elegantbook}| 或者 \verb|\documentclass[titlestyle=hang]{elegantbook}|。

综合起来，同时调用三个选项使用 \verb|\documentclass[color=X,titlestyle=Y]{elegantbook}|。其中 \verb|X| 可以选择 \verb|green|,\verb|cyan|,\verb|blue|,\verb|none|；\verb|Z| 可以选择 \verb|hang| 或者 \verb|display|。

\section{数学环境简介}

在我们这个模板中，定义了三大类环境

\begin{enumerate}[noitemsep]
\item 定理类环境，包含标题和内容两部分。根据格式的不同分为3种
   \begin{itemize}[noitemsep]
      \item {\color{main}\bfseries definition} 环境，含有一个可选项，编号以章节为单位，颜色为 {\color{main}main}；
      \item {\color{second}\bfseries theorem、lemma、corollary} 环境，颜色为主颜色 {\color{second}second}，编号均以章节为单位；
      \item {\color{third}\bfseries proposition} 环境，含有一个可选项，编号以章节为单位，颜色为 {\color{third}{third}}。
   \end{itemize}
\item 示例类环境，有 \textbf{example、exercise} 环境，自动编号，编号以章节为单位。
\item 证明类环境，有 \textbf{proof、note} 环境，特点是，有引导符或者结尾符，\textbf{note} 环境有引导符号，\textbf{proof} 环境有证明完毕标志。
\item 结论类环境，有\textbf{conclusion、assumption、property，remark、solution} 环境，三者均以粗体的引导词为开头，和普通段落格式一致。
\end{enumerate}

\section{可编辑的字段}
在模板中，可以编辑的字段分别为作者 \verb|\author|、邮箱 \verb|\email|、中文标题 \verb|\zhtitle|、中文标题结尾 \verb|\zhend|、英文标题\verb| \entitle|、英文标题结尾 \verb|\enend|、名言 \verb|\myquote|、版本号 \verb|\version|。并且，可以根据自己的喜好把封面水印效果的 \verb|cover.pdf| 替换掉，以及封面中用到的 \verb|logo.png|。

\section{参考文献}

此模板使用了 Bib\TeX{} 来生成参考文献，默认使用的文献样式 aer 样式。参考文献示例：~\cite{Chen2018} 使用了中国一个大型的 P2P 平台（人人贷）的数据来检验男性投资者和女性投资者在投资表现上是否有显著差异。你可以在谷歌学术，Mendeley，Endnote 中获得文献条目（bib item），然后把它们添加到 \verb|reference.bib| 中。在文中引用的时候，引用它们的键值（bib key）即可。注意需要在编译的过程中添加 Bib\TeX{} 编译。

\chapter{ElegantBook 写作示例}

\section{Lebesgue 积分}
在前面各章做了必要的准备后，本章开始介绍新的积分。在 Lebesgue 测度理论的基础上建立了 Lebesgue 积分，其被积函数和积分域更一般，可以对有界函数和无界函数统一处理。正是由于 Lebesgue 积分的这些特点，使得 Lebesgue 积分比 Riemann 积分具有在更一般条件下的极限定理和累次积分交换积分顺序的定理，这使得 Lebesgue 积分不仅在理论上更完善，而且在计算上更灵活有效。

Lebesgue 积分有几种不同的定义方式。我们将采用逐步定义非负简单函数，非负可测函数和一般可测函数积分的方式。

由于现代数学的许多分支如概率论、泛函分析、调和分析等常常用到一般空间上的测度与积分理论，在本章最后一节将介绍一般的测度空间上的积分。

\subsection{积分的定义}

我们将通过三个步骤定义可测函数的积分。首先定义非负简单函数的积分。以下设 $E$ 是 $\mathcal{R}^n$ 中的可测集。

\begin{definition}{可积性}{int}
设 $ f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k} a_i \chi_{A_i}(x)$ 是 $E$ 上的非负简单函数，其中 $\{A_1,A_2,\ldots,A_k\}$ 是 $E$ 上的一个可测分割，$a_1,a_2,\ldots,a_k$ 是非负实数。定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为
\begin{equation}
   \label{inter}
   \int_{E} f dx = \sum_{i=1}^k a_i m(A_i).
\end{equation}
一般情况下 $0 \leq \int_{E} f dx \leq \infty$。若 $\int_{E} f dx < \infty$，则称 $f$ 在 $E$ 上可积。
\end{definition}

一个自然的问题是，Lebesgue 积分与我们所熟悉的 Riemann 积分有什么联系和区别？在 4.4 在我们将详细讨论 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系。这里只看一个简单的例子。设 $D(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的 Dirichlet 函数。即 $D(x)=\chi_{Q_0}(x)$，其中 $Q_0$ 表示 $[0,1]$ 中的有理数的全体。根据非负简单函数积分的定义，$D(x)$ 在 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 积分为
\begin{equation}
   \label{inter2}
   \int_0^1 D(x)dx = \int_0^1 \chi_{Q_0} (x) dx = m(Q_0) = 0
\end{equation}
即 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零。但 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的。


有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数。有界变差函数可以表示为两个单调递增函数之差。与单调函数一样，有界变差函数几乎处处可导。与单调函数不同，有界变差函数类对线性运算是封闭的，它们构成一线空间。练习题 \ref{exer:43} 是一个性质的证明。

\begin{exercise}\label{exer:43}
设 $f\in L(\mathcal{R}^1)$，$g$ 是 $\mathcal{R}^1$ 上的有界可测函数。证明函数
\begin{equation}
   \label{ex:1}
   I(t) = \int_{\mathcal{R}^1} f(x+t)g(x)dx \quad t \in \mathcal{R}^1
\end{equation}
是 $\mathcal{R}^1$ 上的连续函数。
\end{exercise}

\begin{theorem}{Fubini 定理}{fubi} 
（1）若 $f(x,y)$ 是 $\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q$ 上的非负可测函数，
则对几乎处处的 $x\in \mathcal{R}^p$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数是 
$\mathcal{R}^q$ 上的非负可测函数，$g(x)=\int_{\mathcal{R}^q}f(x,y) dy$ 是
 $\mathcal{R}^p$ 上的非负可测函数。并且
 
\begin{equation}
   \label{eq:461}
   \int_{\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q} f(x,y) dxdy=\int_{\mathcal{R}^p}\left(\int_{\mathcal{R}^q}f(x,y)dy\right)dx.
\end{equation}
（2）若 $f(x,y)$ 是 $\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q$ 上的可积函数，则对几乎处处的 $x\in\mathcal{R}^p$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数是 $\mathcal{R}^q$ 上的可积函数，并且 $g(x)=\int_{\mathcal{R}^q}f(x,y) dy$ 是 $\mathcal{R}^p$ 上的可积函数。而且~\ref{eq:461} 成立。
\end{theorem}

\begin{note}
在本模板中，引理（lemma），推论（corollary ）的样式和定理~\ref{thm:fubi} 的样式一致，包括颜色，仅仅只有计数器的设置不一样。
\end{note}

我们说一个实变或者复变量的实值或者复值函数是在区间上平方可积的，
如果其绝对值的平方在该区间上的积分是有限的。
所有在勒贝格积分意义下平方可积的可测函数构成一个希尔伯特空间，
也就是所谓的 $L^2$ 空间，几乎处处相等的函数归为同一等价类。
形式上，$L^2$ 是平方可积函数的空间和几乎处处为 0 的函数空间的商空间。

\begin{proposition}{最优性原理}{max}
   如果 $u^*$ 在 $[s,T]$ 上为最优解，则 $u^*$ 在 $[s,T]$ 任意子区间都是最优解，
   假设区间为 $[t_0,t_1]$ 的最优解为 $u^*$ ，则 $u(t_0)=u^{*}(t_0)$，即初始条件必须还是在 $u^*$ 上。
\end{proposition}

我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据，可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，
这种函数关系称为经验公式。本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求点与点之间近似成线性关系时的经验公式。
假定实验测得变量之间的 $n$ 个数据，则在平面上，可以得到 $n$ 个点，
这种图形称为 “散点图”，从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 
我们认为其近似为一线性函数，下面介绍求解步骤。


考虑函数 $y=a+bx$, 其中 $a$ 和 $b$ 是待定常数。
如果离散点完全的在一直线上，可以认为变量之间的关系为一元函数。
但一般说来，这些点不可能在同一直线上。但是它只能用直线来描述时，
计算值与实际值会产生偏差。当然要求偏差越小越好，但由于偏差可正可负，
因此不能认为总偏差时，拟合函数很好地反映了变量之间的关系，
但是因为此时每个偏差的绝对值可能很大。为了改进这一缺陷，就考虑用平均值来代替。
但是由于绝对值不易作解析运算，因此，进一步用残差平方和函数来度量总偏差。
偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大。于是问题归结为确定拟合函数中的常数和使残差平方和函数最小。 

\begin{figure}[!htbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\textwidth]{mpg.png}
	\caption{MPG 和 Weight 的关系图\label{fig:mpg}}
\end{figure}



以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？
监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），
如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，
如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，
这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，
且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面。


\begin{property}
柯西列的性质
\begin{enumerate}[noitemsep]
\item $\{x_k\}$ 是柯西列，则其子列 $\{x_k^i\}$ 也是柯西列。
\item $x_k\in \mathcal{R}^n$，$\rho(x,y)$ 是欧几里得空间，则柯西列是收敛的，$(\mathcal{R}^n,\rho)$ 空间是完备的。
\end{enumerate}
\end{property}


\begin{conclusion}
回归分析（regression analysis) 是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛，回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，
可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，
这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，
自变量之间存在线性相关，则称为多重线性回归分析。
\end{conclusion}



\nocite{EINAV2010,Havrylchyk2018} 

\bibliographystyle{aer}
\bibliography{reference}

\appendix
\chapter{线性代数}

\section{矩阵的分块}

\begin{equation} 
\begin{vmatrix}
A_1 & 0\\
C & A_2
\end{vmatrix}
=|A_1|\times |A_2|
\end{equation}

由矩阵 $A$ 的若干行、若干列的交叉位置元素按照原来顺序排成的矩阵称为 $A$ 的一个\textbf{子矩阵}。

\end{document}
